Различия начинаются уже с самих названий стран.

В Руспублике Корея Северную Корею называют 북한 [пукхан], от 북 - север и 한 - этноним всего корейского на Юге. Себя же они гордо величают 대한민국 [тэханмингук], тот же 한 с величественной приставкой 대 и 민국 - республика. Сокращённый вариант вам всем известен - просто 한국.

КНДР придерживается другой терминологии. Себя в разговоре вместо 조선 민주주의 인민 공화국 (что и переводится как Корейская Народная Демократическая Руспублика) они коротко называют 조선 [чосон] в память о существовавшем в 14-19 веках на корейском полуострове государстве Чосон. Южную Корею они называют 남조선 [намчосон], то есть южный Чосон.

Все мы называем корейский язык 한국어 [хангуго], но мало кто знает, что жители КНДР, говоря о своём языке, всегда будут употреблять слово 조선어 [чосоно]. 한국말 [хангунмаль] соответственно превращается в 조선말 [чосонмаль].

Когда в Сеуле туристы арендуют традиционную корейскую одежду, чтобы красиво пофоткаться в Кёнбоккуне, они просят 한복 [ханбок] (한 - уже знакомый нам южнокорейский этноним, 복 - костюм). Если захотите ссделать подобные снимки в Пхеньяне, просите 조선옷 [чосонот], иначе не поймут.

Общее правило такое: чтобы не попадать впросак в суровой северной стране, меняйте везде 한국 на 조선.